Логические переменные и логические операции.

Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными латинскими буквами: А, В, С, D,… и т. д.
Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов. В алгебре логики эти союзы заменяются логическими операциями. В соответствии с алгеброй логики любое составное высказывание можно рассматривать как логическую функцию F(А, В, С, …).

Например: F(A,B)= A and B

Логические функции и логические переменные (аргументы) принимают только два значения: «истина», которая обозначается логической единицей – 1 и «ложь», обозначаемая логическим нулем – 0. Логическую функцию называют также предикатом.

Действия, совершаемые над логическими переменными для получения определенных логических функций, называются логическими операциями.
1. Логическая операция ИНВЕРСИЯ (отрицание). В естественных языках соответствует словам неверно, ложь или частице не, в языках программирования обозначается Not, в алгебре логики обозначается Ā
Результат отрицания всегда противоположен значению аргумента.

2. Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение). В естественных языках соответствует союзу «И» , в языках программирования обозначается «And» , в алгебре логики обозначается «&» или «Λ» , или « · » .

Конъюнкция каждым простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся только тогда истинным, когда являются истинными простые высказывания, образующие составное высказывание.

Математическая запись данной операции для логических переменных А, В, С, … будет иметь вид: F = A & B & C & …

Пример:
Дана функция F(A, B, C) = A Λ B Λ C.
Определить значение логической функции при условии, что значения переменных А и В истинны, а переменной С – ложно.

A=1
B=1
C=0

F(A, B, C) = A Λ B Λ C = 1 Λ 1 Λ 0 = 0

3. Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение). В естественных языках соответствует союзу «ИЛИ», в языках программирования обозначается «Or», в алгебре логики обозначается «V» или «+».

Дизъюнкция каждым простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся только тогда истинным, когда хотя бы одно из образующих его высказываний является истинным.

Математическая запись данной операции для логических переменных A, В, С, … будет иметь вид:

4. Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование).
В естественных языках соответствует обороту речи, «если…, то …» , в языках программирования обозначается «IF», в алгебре логики обозначается «→».

Импликация каждым простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе высказывание ложно.

Математическая запись данной операции для двух логических переменных A и B будет иметь вид:

Пример:
Дана функция F(A, B, C) = A V B → C.
Определить значение логической функции при условии, что значение переменной A истинно, B – ложно, а переменной C –истинно.
A=1
B=0
C=1

F(A, B, C) = A V B → C = 1 V 0 → 1 = 1

5. Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (логическая равнозначность). В естественных языках соответствует обороту речи «тогда и только тогда», в алгебре логики обозначается «↔», или «≡» .

Эквиваленция каждым простым высказываниям ставит в соответствие составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда все простые высказывания, образующие составное высказывание, одновременно истинны или одновременно ложны.

Математическая запись данной операции для логических переменных A, В, С… будет иметь вид:

Пример:

Дана функция F(A, B, C) = A & ¬B ↔ C.
Определить значение логической функции при условии, что значение переменной А истинно, В – ложно, а переменной С – истинно.
A=1
B=0
C=1

F(A, B, C) = A & ¬B ↔ C = 1 & ¬ 0 ↔ 1 = 1 & ↔ 1 = 1