Математические основы информатики.

Основные определения информатики.

Математические основы информатики — сочетание слов странное, с какой стороны на него ни посмотри. Если это про применение математических методов в информатике — а об этом, безусловно, предстоит вести речь, — то почему нет, например, математических основ физики или химии, где математика весьма изощренно используется уже столетия? Если о том, что информатика как научная теория своим происхождением и развитием обязана математике, то, как повзрослевшее дитя, она давно уже выпорхнула из родового гнездышка, обзавелась пестрым оперением информационных технологий — и стоит ли поминать в этой ситуации старушку-мать, т.е. математику. Современное определение информатики как науки, изучающей информационные процессы в природе, технике и обществе, вообще не содержит и намека на какую-то связь с математикой.

Разберемся по порядку. Основные информационные процессы, как известно, — это получение, хранение, передача и обработка информации. Именно их изучение и представляет собой основную цель информатики. Надо только еще сказать, что акцент делается на автоматизации этих процессов. Не случайно бытует мнение, что сам термин ИНФОРМАТИКА происходит от соединения слов ИНФОРмация и автоМАТИКА. Без указанного акцента информатика неизбежно становится сборищем фрагментов других научных дисциплин: семиотики, изучающей знаковые системы, лингвистики, изучающей закономерности языка как средства передачи информации, психологии, изучающей, в частности, процессы обработки информации человеком, этологии, изучающей поведение животных, архивоведения, формулирующего правила хранения информации, библиологии, занимающейся организацией хранения и поиска информации, и т.д.

Система счисления— это совокупность приемов и правил, по которым числа записываются и читаются.
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счислениявес цифры (т. е. тот вклад, который она вносит в значение числа) не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХII (тридцать два) вес цифры Х в любой позиции равен просто десяти. В позиционных системах счислениявес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, изображающих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая — 7 единиц, а третья — 7 десятых долей единицы.

Сама же запись числа 757,7 означает сокращенную запись выражения

700 + 50 + 7 + 0,7 = 7 ^. 10²+ 5 ^. 10¹+ 7 ^. 10⁰+ 7 ^. 10^—1= 757,7.

Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.

Основание позиционной системы счисления— количество различных цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления.
За основание системы можно принять любое натуральное число — два, три, четыре и т.д. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в каждой из систем счисления с основаниемqозначает сокращенную запись выражения

a_n-1 q^n-1 + a_n-2 q^n-2 + ... + a₁ q¹ + a₀ q⁰ + a_-1 q^-1 + ... + a_-m q^-m,

где  a_i— цифры системы счисления; n и m — число целых и дробных разрядов, соответственно.
Например:

Целые числа в позиционных системах счисления.

В каждой системе счисления цифры упорядочены в соответствии с их значениями: 1 больше 0, 2 больше 1 и т.д.

Продвижением цифры называют замену её следующей по величине.

Продвинуть цифру 1 значит заменить её на 2, продвинуть цифру 2 значит заменить её на 3 и т.д. Продвижение старшей цифры(например, цифры 9 в десятичной системе) означает замену её на 0. В двоичной системе, использующей только две цифры — 0 и 1, продвижение 0 означает замену его на 1, а продвижение 1 — замену её на 0.

Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью Правила счета:
Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно продвинуть самую правую цифру числа; если какая-либо цифра после продвижения стала нулем, то нужно продвинуть цифру, стоящую слева от неё.

Применяя это правило, запишем первые десять целых чисел

в двоичной системе:         0,   1,   10,   11,   100,   101,   110,   111,   1000,   1001;

в троичной системе:         0,   1,   2,   10,   11,   12,   20,   21,   22,   100;

в пятеричной системе:     0,   1,   2,   3,   4,   10,   11,   12,   13,   14;

в восьмеричной системе: 0,   1,   2,   3,   4,   5,   6,   7,   10,   11.

двоичная (используются цифры 0, 1);

восьмеричная (используются цифры 0, 1, ..., 7);

шестнадцатеричная (для первых целых чисел от нуля до девяти используются цифры 0, 1, ..., 9, а для следующих чисел — от десяти до пятнадцати — в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).

Полезно запомнить запись в этих системах счисления первых двух десятков целых чисел: